Perspektiv
De perspektivrige faglige felter indenfor geometri ved Institut for Matematik er: Geometriske og topologiske studier af kurver og flader samt deres generaliseringer til mangfoldigheder. Metoderne, der anvendes er: analytiske, topologiske, og diskrete. Anvendelserne, der haves in mente er: Computer-geometri, kvante-geometri, og protein-geometri.
Geometrisk Indsigt
Der er nogle helt klare begreber og resultater - som for eksempel mangfoldighedsbegrebet, klassifikation af rumformer, og Morse-teori - der dels overbringer dyb indsigt fra det 20. århundredes udvikling indenfor geometri, differentialgeometri og global analyse og som samtidig har stort potentiale i den videre udvikling og visionerne for den nærmeste og næstnærmeste fremtid.
Emner
Af konkrete emner, der forventes vedvarende at være i fokus kan nævnes: Geometriske invarianter og sammenligningsgeometri. Anvendelser af geometriske og topologiske metoder i fysiske og biologiske systemer. Sammenhæng mellem Riemannsk geometri og diskret geometri.
Geometriske invarianter
Metriske og topologiske deskriptorer er sammen med lokale krumningsinvarianter effektive værktøjer til beskrivelse, klassifikation og sammenligning af strukturer med veldefinerede afstandsmål. Der er anvendelser af resultaterne indenfor analyse af dokningsegenskaber for biologiske molekyler og klassifikation af proteiner. En del af forskningen på Instituttet omhandler 'oversættelser' af metoder og resultater imellem diskret geometri og Riemann'sk geometri. Computer-eksperimenter spiller selvsagt en afgørende og voksende rolle i dette arbejde. Afstandsgeometri og de såkaldte sfære-sætninger (ved hjælp af hvilke de maksimalt symmetriske konfigurationer i de respektive rum kan afsløres og konstrueres ud fra ganske få deskriptorer og invarianter) vil fortsat have ikon-status indenfor dette forskningsområde.
Krumningsgeometri
Krumningstensorens hemmeligheder og dybtgående - men endnu ikke tilstrækkeligt forståede - deskriptor-potentiale for både diskrete og differentiable geometrier udforskes tilsvarende, i.e. med henblik på at finde og bruge gode geometriske invarianter. Arbejdet går ud på at forstå krumningstensorens indflydelse på forløbet af naturligt forekommende deformationer af delmangfoldigheder (f.eks. minimal-flader, membraner, protein-kæder) i omgivende veldefinerede rum (f.eks. og typisk det sædvanlige 3-dimensionale rum). Det drejer sig f.eks. om klassiske fænomener som varmeledning, diffusion og løsninger til Schrødingerligningen. Her spiller den lokale kobling mellem indre og ydre geometri en fundamental rolle og repræsenterer samtidig den ikke-lineære baggrund for disse processer, der alle beskrives via Laplace-operatoren.
Laplace geometri
Det er Laplace-operatoren, der inducerer en veldefineret Fourier-analyse på Riemannske mangfoldigheder og endda på metriske grafer; der er rige muligheder for at finde nye resultater og anvendelsesmuligheder i dette frugtbare forskningsområde mellem geometri, analyse og diskret matematik. Udgangspunktet er f.eks. studiet af minimalflader og såkaldte minimale grafer, men nyere forskning (ved Instituttet) peger på, at kategorien af baggrundsgeometrier kan udvides betydeligt.